1. император, военачальник, адмирал, танцовщица, ткань, министр, ....
Ну, допустим,
козырёк - защищает от солнца.
Предположу, что общее у всех, кроме танцовщицы - свойство защищать. Император - интересы империи, военачальник командует, помимо прочего, обороной; адмирал - то же, только на флоте; ткань - покровный материал, защищает от механических повреждений кожи, допустим, министр - защищает интересы отраслей народного хозяйства и т.д. Помимо прочего, понятное дело.
4. автомобиль, кот, гора, ...
Ну, допустим,
шляпа с полями - тоже имеет выпуклость посередине.
Если взглянуть со стороны на визуальный ряд, то автомобиль - линия капота вздымается и переходит в лобовое стекло, затем линия крыши, а затем - спуск к линии багажника (если речь идёт не о минивэне, хотя везде есть характерный подъем от капота); кот - выгибает спину дугой, гора - склоны, вершина, склоны.