Начало первой попытки за вторые сутки.
4. Поскольку расчет получается слишком длинным, то его выложу поэтапно, начиная со случая
четырехзначных чисел. В этом случае имеются 9 в четвертой степени, то есть 6561 чисел без нулей. Из них: а) 9 x 8 x 7 x 6 чисел с разными цифрами, б) 9 x 8 x 7 x C (4, 2) чисел с двумя одинаковыми цифрами, в) 9 x 8 x C (4, 3) чисел с тремя одинаковыми цифрами, д) 9 чисел с четырьмя одинаковыми цифрами.
Однако в случай б) входит подслучай с двумя парами одинаковых чисел, и в этом случае их количество нужно будет помножить не на 3, а на 2, как и в случае в). Это количество равно 8 x C (4, 2). В итоге получаем:
S (4) = 4 x (9 x 8 x 7 x 6) + 3 x (9 x 8 x 7 x C (4, 2) – 8 x C (4, 2)) + 2 x (8 x C (4, 2) + 9 x 8 x C (4, 3)) + 1 x 9 = 4 x (9 x 8 x 7 x 6) + 3 x C (4, 2) x (9 x 8 x 7 – 8 ) + 2 x (8 x C (4, 2) + 9 x 8 x C (4, 3)) + 1 x 9,
где C (4, 2) = 6; C (4, 3) = C (4, 1) = 4.
Отсюда
S (4) = 4 x (9 x 8 x 7 x 6) + 3 x 6 x 8 x (9 x 7 – 1) + 2 x (8 x 6 + 9 x 8 x 4) + 1 x 9 = 4 x 3024 + 3 x 6 x 8 x 62 + 2 x 8 x (6 + 9 x 4) + 9 =12096 + 8928 + 672 + 9 =
21705.
Продолжим в том же духе. В случае
пятизначных чисел имеются 9 в пятой степени, то есть 59049 чисел без нулей. Из них: а) 9 x 8 x 7 x 6 x 5 чисел с разными цифрами, б) 9 x 8 x 7 x 6 x C (5, 2) чисел с двумя одинаковыми цифрами, в) 9 x 8 x 7 x C (5, 3) чисел с тремя одинаковыми цифрами, г) 9 x 8 x C (5, 4) чисел с четырьмя одинаковыми цифрами, д) 9 чисел с пятью одинаковыми цифрами.
В случай б) входят 2 подслучая: б1) две пары одинаковых цифр + другая цифра (тогда количество цифр нужно помножить не на 4, а на 3); б2) 2 одинаковые цифры + 3 другие одинаковые цифры (тогда количество цифр нужно помножить не на 4, а на 2).
В случай в) входит подслучай с тройкой и парой одинаковых цифр, причем он совпадает со случаем б2) и уже учтен, так что количество таких чисел нужно просто отнять от соответствующего слагаемого в общей сумме
S (5).
Количество чисел в подслучае б1) равно 8 x 7 x C (5, 2).
Количество чисел в подслучае б2) равно 8 x C (5, 3).
В итоге получаем:
S (5) = 5 x (9 x 8 x 7 x 6 x 5) + 4 x (9 x 8 x 7 x 6 x C (5, 2) – 8 x 7 x C (5, 2) – 8 x C (5, 3)) + 3 x (9 x 8 x 7 x C (5, 3) + 8 x 7 x C (5, 2) – 8 x C (5, 3)) + 2 x (9 x 8 x C (5, 4) + 8 x C (5, 3)) + 1 x 9, где C (5, 2) = 10; C (5, 3) = (5, 2) = 10; C (5, 4) = C (5, 1) = 5.
Теперь, учитывая все выявленные нюансы, попробуем сразу перейти к случаю требуемых восьмизначных чисел.
Здесь потребуется учесть массу дополнительных подслучаев: 2 + 2 + 2 + 2, 2 + 2 + 3 + 1, 2 + 2 + 4, 2 + 3 + 3, 2 + 6, 3 + 4 + 1, 3 + 5, 4 + 4, что чисто технически предельно усложняет подсчет.
Так что если кто-нибудь быстрее меня завершит подсчет, выложит окончательный результат и заберет положенные за отгадку баллы, то я буду только рад.
P.S. На самом деле подслучаев значительно больше: 2 + 2 + 2 + 2, 2 + 2 + 2 + 1 + 1, 2 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1, 2 + 2 + 3 + 1, 2 + 2 + 4, 2 + 3 + 3, 2 + 3 + 1 + 1 + 1, 2 + 4 + 1 + 1, 2 + 5 + 1. 2 + 6, 3+ 3 + 1 + 1, 3 + 4 + 1, 3 + 5, 4 + 4, и надо еще внимательно проверить, охвачены ли они все (и не забыть как-то учесть зеркальные отражения). Лучше всего было бы, конечно, обратиться к мощной ЭВМ, но, увы - нет возможности.
