Продолжение первой попытки за вторые сутки.
4. Следуя указанному методу, можно получить искомую формулу для восьмизначных чисел. Однако уже для шестизначных чисел она слишком громоздка, а для восьмизначных чисел просто неудобоварима - в арифметических вычислениях по ней практически невозможно избежать ошибок, да и принуждать проверить итог ведущему было бы слишком жестоко.
Поэтому попытался поискать другой путь решения загадки, и, кажется, удалось найти значительно более легкий метод, не лишенный изящества.
Прежде всего отметим, что:
- количество восьмизначных чисел с разными цифрами равно 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 (8 различных цифр);
- количество восьмизначных чисел с парой одинаковых и остальными разными цифрами равно 9 x C (8, 2) x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 (7 различных цифр);
- количество восьмизначных чисел с тройкой одинаковых и остальными разными цифрами равно 9 x C (8, 3) x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 (6 различных цифр);
- количество восьмизначных чисел с четверкой одинаковых и остальными разными цифрами равно 9 x C (8, 4) x 8 x 7 x 6 x 5 (5 различных цифр);
- количество восьмизначных чисел с пятеркой одинаковых и остальными разными цифрами равно 9 x C (8, 5) x 8 x 7 x 6 (4 различные цифры);
- количество восьмизначных чисел с шестеркой одинаковых и остальными разными цифрами равно 9 x C (8, 6) x 8 x 7 (3 различные цифры);
- количество восьмизначных чисел с семеркой одинаковых и отличающейся восьмой цифрой равно 9 x C (8, 7) x 8 (2 различные цифры);
- количество восьмизначных чисел с восемью одинаковыми цифрами равно 9,
где C (8, 2) = C (8, 6) =
28; C (8, 3) = C (8, 5) = 56; C (8, 7) = C (8, 1) = 8; C (8, 4) = 70.
Теперь напишем выражение для вспомогательной суммы
S1 (8 ):
S1 (8 ) = 8 x (9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2) + 7 x (9 x C (8, 2) x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3) + 6 x (9 x C (8, 3) x 8 x 7 x 6 x 5 x 4) + 5 x (9 x C (8, 4) x 8 x 7 x 6 x 5) + 4 x (9 x C (8, 5) x 8 x 7 x 6) + 3 x (9 x C (8, 6) x 8 x 7) + 2 x (9 x C (8, 7) x 8 ) + 1 x 9.
В этой сумме учтены все восьмизначные числа, в которых
не повторяется более одной цифры, то есть либо все цифры неповторяющиеся, либо одна из цифр повторяется от 2 до 8 раз.
Искомая сумма равна:
S (8 ) = S1 (8 ) + S2 (8 ),
где во второй вспомогательной сумме
S2 (8 ) должны быть учтены все оставшиеся восьмизначные числа. При этом возможны следующие случаи:
1) две пары и остальные разные цифры (6 различных цифр);
2) три пары и остальные разные цифры (5 различных цифр);
3) четыре пары (4 различные цифры);
4) пара и две тройки (3 различные цифры);
5) две пары, тройка и отличающаяся восьмая цифра (4 различные цифры);
6) пара, тройка и остальные разные цифры (5 различных цифр);
7) пара, четверка и остальные разные цифры (
4 различные цифры);
8 ) две пары и четверка (3 различные цифры);
9) пара, пятерка и отличающаяся восьмая цифра (3 различные цифры);
10) пара и шестерка (2 различные цифры);
11) две тройки и остальные разные цифры (
4 различные цифры);
12) тройка, четверка и отличающаяся восьмая цифра (3 различные цифры);
13) тройка и пятерка (2 различные цифры);
14) две четверки (2 различные цифры);
Обозначив количества восьмизначных чисел в этих случаях соответственно через A1, A2, A3, … A14, получим:
S2 (8 ) = 6 x A1 + 5 x A2 + 4 x A3 + 3 x A4 + 4 x A5 + 5 x A6 +
4 x A7 + 3 x A8 + 3 x A9 + 2 x A10 +
4 x A11 + 3 x A12 + 2 x A13 + 2 x A14, или:
S2 (8 ) = 6 x A1 + 5 x (A2 + A6) + 4 x (A3 + A5
+ A7 + A11) + 3 x (A4 + A8 + A9 + A12) +2 x (A10 + A13 + A14).
Теперь выпишем формулы для нахождения количеств A1, A2, A3, … A14:
A1 = 9 x C (8, 2) x 8 x C (6, 2) x 7 x 6 x 5 x 4;
A2 = 9 x C (8, 2) x 8 x C (6, 2) x 7 x C (4, 2) x 6 x 5;
A3 = 9 x C (8, 2) x 8 x C (6, 2) x 7 x C (4, 2) x 6;
A4 = 9 x C (8, 2) x 8 x C (6, 3) x 7;
A5 = 9 x C (8, 2) x 8 x C (6, 2) x 7 x C (4, 3) x 6;
A6 = 9 x C (8, 2) x 8 x C (6, 3) x 7 x 6 x 5;
A7 = 9 x C (8, 2) x 8 x C (6, 4) x 7 x 6;
A8 = 9 x C (8, 2) x 8 x C (6, 2) x 7;
A9 = 9 x C (8, 2) x 8 x C (6, 5) x 7;
A10 = 9 x C (8, 2) x 8;
A11 = 9 x C (8, 3) x 8 x C (6, 3)
x 7 x 6;
A12 = 9 x C (8, 3) x 8 x C (6, 4) x 7;
A13 = 9 x C (8, 3) x 8;
A14 = 9 x C (8, 4) x 8,
где C (8, 2) = 28; C (8, 3) = 56; C (8, 4) = 70; C (6, 2) = C (6, 4) = 15; C (6, 5) = C (6, 1) = 6; C (6, 3)
= 20; C (4, 3) = C (4, 1) = 4; C (4, 2) = 6.
Остается подставить значения этих сочетаний, вычислить количества
A, затем вспомогательные суммы
S1 (8 ) и
S2 (8 ) и, наконец, подсчитать искомую сумму
S (8 ).
Арифметические подсчеты, конечно, и здесь трудоемкие, но явно не такие безнадежно-нудные, как при первом методе.
6. Все мифические животные есть в цикле "
Ведьмак"
Анджея Сапковского, кроме
минотавра.
P.S. Пока что исправил пару грамматических опечаток. Посмотрим, хватит ли сил проверить все выкладки. )
P.P.S. Опечатки, к сожалению, есть и в выкладках, исправления выделил
красным цветом. Надеюсь, ничего не пропустил.