Задача Эйнштейна и другие...

[Мефистошик]

Здесь мне вместо нудного подсчета суммы бесконечного ряда вроде удалось получить рекуррентную формулу.
Q - вероятность победы Джо. После его выстрела в Билли он попадет в него с вероятностью 0,3. Если же он не попадет (вероятность 0,7), то выстрелит Билли, и вероятность его промаха составит 0,7*0,2 = 0,14. После этого вновь возникнет начальное положение с очередью стрельбы Джо, то есть вероятность его победы составит уже 0,14Q. Значит, Q = 0,3 + 0,14Q, откуда легко найти Q = 0,35 (равенство приблизительное), а 1 - Q = 0,65.

Да, тут все правильно. Просто ты округлил, потому мне на первый взгляд показалось ошибочно.

[Bob-Domon]

Исправленный вариант Б в случае стрельбы "до победного конца":
Б. Наконец, рассмотрим случай, когда Джо стреляет во Фрэнки. Тогда, если он попадает с вероятностью 0,3, то Билли стреляет первым в Джо и попадает с вероятностью 0,8.
Обозначим вероятность победы Билли через Q, тогда вероятность победы Джо - (1 – Q).
Вероятность того, что промахнутся оба, равна 0,2*0,7 = 0,14.
После этого перестрелка начинается сначала. Поэтому Q = 0,8 + 0,14Q.
Отсюда 0,86Q = 0,8, то есть Q = 0,8/0,86, или Q = 0,93. а (1 – Q) = 0,07.
В этом случае вероятность победы Джо 0,3*0,07 = 0,021, а вероятность победы Билли 0,3*0,93 = 0,279.
Если же Джо не попадает во Фрэнки (вероятность 0,7), то выстрелит в него Билли и попадет с вероятностью 0,7*0,8 = 0,56. После этого стреляет Джо и, по знакомым мотивам, вероятность его победы составит 0,35, а вероятность победы Билли - 0,65.
Значит, общая вероятность победы Джо в этом случае 0,7*0,8*0,35 = 0,196, а общая вероятность победы Билли 0,7*0,8*0,65 = 0,364.
Если же Билли не попадет во Фрэнки, то тот застрелит его. После этого выстрелит Джо и попадет во Фрэнки с вероятностью 0,3, а в противном случае Фрэнки с вероятностью 0,7 застрелит его.
Значит, общая вероятность победы Джо в этом случае 0,7*0,2*0,3 = 0,042, а общая вероятность победы Фрэнки 0,7*0.2*0,7 = 0,098.
Таким образом:
общая вероятность победы Джо 0,021 + 0,196 + 0,042 = 0,259;
общая вероятность победы Билли 0,279 + 0.364 = 0,643;
общая вероятность победы Фрэнки 0,21 + 0,21 = 0,098.
Проверка: 0,259 + 0,643 + 0,098 = 1.
Таким образом, для Джо худший вариант - опять-таки стрелять в Билли.

[Мефистошик]

Как раз переделывал, когда ты выложил правильное продолжение.(

Виноват. Думал, ты уже ушел.
В любом случае, не сомневаюсь, что ты сам исправил бы неточность, если б я на нее указал. И то, что я выложил решение одного частного случая, не умаляет твоей работы.

[Bob-Domon]

Виноват. Думал, ты уже ушел.
В любом случае, не сомневаюсь, что ты сам исправил бы неточность, если б я на нее указал. И то, что я выложил решение одного частного случая, не умаляет твоей работы.

Вариант Б в случае "битвы до конца" как раз вроде в правильном виде.

[Мефистошик]

Итого, Bob-Domon получает 5 баллов.
И Пингвинчегу за интуитивный ответ присуждаю 1 бонусный балл.

Spoiler: показать

Мефистошик - 113
Bob-Domon - 88
lionel - 37
Пингвинчег - 22
Шарин Налхара - 20
Симмах - 20
Сєм - 19
Леди с Севера - 9
G8 - 8
Рашан Курин - 4
Луан - 3
Никта - 2
Тереза - 2
Нана - 2
Селин -1

[Пингвинчег]

Надо дальше развивать интуицию

[Bob-Domon]

Предложу задачу (в немного отредактированном виде), которую составил один из соавторов наших учебников по математике для 2-4-х классов, доктор физико-математических наук Самвел Арутюнян. Задача предлагалась на нашей Республиканской школьной олимпиаде.
Правильный ответ с полным объяснением оценю в 4 балла, без объяснения - бонусный 1 балл.

Двое друзей-математиков встретились после долгой разлуки. После взаимных приветствий первый спросил у второго:
- Какие у тебя новости?
- В семейном плане - никаких, по-прежнему холост и занимаюсь наукой,- ответил тот.- Недавно защитил докторскую диссертацию, А что нового у тебя?
- Я ограничился кандидатской, но зато создал семью, и у меня трое детей. Кстати, вот тебе задача: произведение возрастов моих детей равно 36, а сумма равна числу окон вон в том доме напротив. Сколько им лет?
Доктор наук посмотрел на дом напротив, а затем недоуменно на своего друга и пожал плечами.
- Ой, извини, забыл упомянуть,- сказал кандидат наук.- Мой старший ребенок успешно учится играть на скрипке.
- А, теперь все понятно,- молвил доктор наук.
Итак, каков возраст детей кандидата наук?

[Мефистошик]

Забавно, я эту задачу встречал в каких-то совсем старых сборниках.

Итак, назовем наших друзей Альберт и Исаак. Допустим, дети у Исаака. Соответственно, Альберт разгадывает.
Альберт знает произведение возрастов детей, а также сумму (которую не знаем пока мы). Этой информации ему недостаточно. Очевидно, существуют несколько вариантов решения, при котором сумма и произведения возрастов одинаковые. Переберем все возможные разложения 36 на произведения натуральных чисел (оговоримся сразу, что мы рассматриваем лишь натуральные числа, иначе задача решений не имеет).
36=36*1*1, 36+1+1=38
36=18*2*1, 18+2+1=21
36=12*3*1, 12+3+1=16
36=9*4*1, 9+4+1=14
36=9*2*2, 9+2+2=13
36=6*6*1, 6+6+1=13
36=6*3*2, 6+3+2=11
36=4*3*3, 4+3+3=10

Это все возможные разложения. Как видим, единственная сумма, встречающаяся более одного раза - 13. Именно она то и является той, которую узнал Альберт, посчитав окна в доме напротив. Иначе Альберт тотчас назвал бы ответ. Так что у него было 2 варианта решения - 9,2,2 или 6,6,1. Своим последним уточнением Исаак упомянул, что старший ребенок учится играть на скрипке (хм, вот откуда у меня в голове взялся Альберт ). Однако основной информацией было то, что вообще есть старший ребенок. В ситуации 6,6,1 - мы имеем двух детей одного возраста (конечно, существует теоретическая вероятность, что за год жена Исаака родила двух детей, один из которых старший на 10-11 месяцев, но давайте пожалеем бедную женщину). Значит, вариант 6,6,1 нам не подходит.
И правильный ответ 2 года, 2 года и 9 лет.

[Bob-Domon]

Забавно, я эту задачу встречал в каких-то совсем старых сборниках.

Заподозрив, что эта задача гораздо старше, я только что говорил по телефону с Арутюняном, он действительно не составил эту задачу, а лишь предложил для учебника. А задача была составлена еще в 1964 году.
Разумеется, решение верное. Задача мне понравилась еще давно из-за юного скрипача.)))
Единственно, жаль, что математик-"тяжеловес" не дал возможности подумать другим. Но, как говорится, такова спортивная жизнь.

Spoiler: показать

Мефистошик - 117
Bob-Domon - 88
lionel - 37
Пингвинчег - 22
Шарин Налхара - 20
Симмах - 20
Сєм - 19
Леди с Севера - 9
G8 - 8
Рашан Курин - 4
Луан - 3
Никта - 2
Тереза - 2
Нана - 2
Селин -1

[Мефистошик]

Единственно, жаль, что математик-"тяжеловес" не дал возможности подумать другим. Но, как говорится, такова спортивная жизнь.

Ну должна ж быть какая-то польза от моего образования. Хоть баллы в "задаче Эйнштейна" позарабатываю.

[Мефистошик]

Переходя пустыню, верблюд Григорий первую треть времени двигался не спеша, со скоростью всего 2 км/час. Потом он понял, что опаздывает и следующую треть времени передвигался в ускоренном темпе - со скоростью 8км/час. Осознав, что нагнал время и даже перегнал его, Григорий успокоился и за оставшуюся треть времени прошел оставшуюся треть пути. С какой скоростью двигался Григорий на последнем участке?

За решение 2 балла.

[Пингвинчег]

5 км/ч

[Мефистошик]

Сударь, а как же решение?)

[Пингвинчег]

2х+8х=2/3 (так как шел треть и треть времени, то есть равное количество, и прошел две трети пути)
10х=2/3
х=2/30=1/15
1/3 / 1/15 = 5

[Мефистошик]

Ну не совсем корректно с физической точки зрения, но в целом верно.
Можно было посчитать и по другому: за первых два отрезка времени Григорий прошел 2/3 пути за 2/3 времени, потом он прошел 1/3 пути за 1/3 времени. Значит, средняя скорость у него была одинаковая, что на первых двух третях, что на последней трети. Среднее арифметическое между 2 и 8 - это 5. Значит, такова и была скорость Григория на последнем отрезке.

Spoiler: показать

Мефистошик - 117
Bob-Domon - 88
lionel - 37
Пингвинчег - 24
Шарин Налхара - 20
Симмах - 20
Сєм - 19
Леди с Севера - 9
G8 - 8
Рашан Курин - 4
Луан - 3
Никта - 2
Тереза - 2
Нана - 2
Селин -1

 Ждём задачку.