Задача Эйнштейна и другие...

[Bob-Domon]

Ясно, что если Джо выстрелит в Билли и попадет, то он немедленно погибнет. Если же не попадет, то окажется один на один с намного лучшим стрелком.
Если же Джо выстрелит в Фрэнки и попадет, то шансы его будут чуть лише, чем в первом случае, но все равно 3 против 8. Если же не попадет, то опять-таки окажется один на один с намного лучшим стрелком.
Поэтому оптимальная стратегия для него - стрелять в воздух. Тогда Билли,чтобы самому не быть убитым, должен стрелять во Фрэнки. Если попадет, то будет стрелять Джо, и это даст ему шансы. Если же не попадет, то Фрэнки наверняка застрелит Билли, и вновь будет стрелять Джо. Значит, оптимальная стратегия для Джо - стрелять в воздух.
Расчет показывает, что наивысшая вероятность выжить именно у Джо.
Проверю расчет и чуть позже выставлю его.

[Bob-Domon]

Оптимальная стратегия для Джо - действительно стрелять в воздух.
Однако с выводом о том, у кого наибольшая вероятность выживания, я поспешил.
I раунд
Итак, Джо стреляет в воздух.
Билли стреляет во Фрэнки. И теперь:
1) Он попадает с вероятностью 0,8. Тогда Джо стреляет в Билли, попадает с вероятностью 0,3, а у Билли шансы попасть  - 0,7.
Обозначим вероятность победы Джо через Q, тогда вероятность победы Билли - (1 – Q).
Вероятность того, что промахнутся оба, равна 0,7*0,2 = 0,14.
После этого перестрелка начинается сначала. Поэтому Q = 0,3 + 0,14Q.
Отсюда 0,86Q = 0,3, то есть Q = 0,3/0,86, или Q = 0,35. а (1 – Q) = 0,65.
2) Билли “мажет” с вероятностью 0,2, и Фрэнки застреливает его, вероятность события та же - 0,2.

II раунд
Остались Джо и Фрэнки, и Джо застреливает его с вероятностью 0,3. Если же он мажет, то Фрэнки застреливает его, вероятность события 0,7.
 
Таким образом:
Общая вероятность победы Джо 0,35*0,8 + 0,2*0,3 = 0,34;
общая вероятность победы Билли 0,8*0,65 = 0,52;
общая вероятность победы Фрэнки 0,2*0,7 = 0,14.
Иными словами, все же наиболее вероятна победа Билли, однако шансы Джо несколько больше первоначальных 0,3.

[Bob-Domon]

Все же попробуем более строго доказать, что при других решениях Джо его шансы на выживание меньше.
А. Джо стреляет в Билли. Тогда, если он попадает с вероятностью 0,3, то Фрэнки застреливает Билли. После этого Джо с вероятностью 0,3 попадает во Фрэнки, а в противном случае Фрэнки застреливает его.
В этом случае Джо выигрывает с вероятностью 0,3*0,3 = 0.09, а Фрэнки выигрывает с вероятностью 0,3*0,7 = 0,21.
Если же Джо не попадает в Билли, то тот стреляет во Фрэнки и попадает с вероятностью 0,8. Дальше стреляет Джо в Билли и, как было показано выше, выигрывает с вероятностью 0,35, а Билли - с вероятностью 0,65.
В этом случае Джо выигрывает с вероятностью 0,3*0,35 = 0,105, а Билли - с вероятностью 0,3*0,65 = 0,195.
Наконец, если Билли не попадает во Фрэнки, то тот его застреливает, после чего Джо застреливает Фрэнки с вероятностью 0,3. В этом случае Джо выигрывает с вероятностью 0,3*0,3 = 0,09, а Фрэнки - с вероятностью 0,3*0,7 = 0,21.
Таким образом:
Общая вероятность победы Джо 0,09 + 0,105 + 0,09 = 0,285;
общая вероятность победы Билли 0,195;
общая вероятность победы Фрэнки 0,21 + 0,21 = 0,42.
Таким образом, однако шансы Джо в этом случае несколько меньше первоначальных 0,3.

[Мефистошик]

Не совсем так. Всего по условию происходит два раунда стрельбы. После этого даже если выживших больше одного, дуэль заканчивается. Соответственно, некоторые вероятности не соответствуют истине.
Предоставлю Бобу право исправить свое решение. Однако даже если он этого не сделает, все равно будет считаться победителем со всеми вытекающими.

[Bob-Domon]

А, этого нюанса сперва не заметил. Тогда, для полноты, сперва закончу с вариантом дуэли до победного конца, а затем попробую внести исправления.

Б. Наконец, рассмотрим случай, когда Джо стреляет во Фрэнки. Тогда, если он попадает с вероятностью 0,3, то Билли стреляет первым в Джо и попадает с вероятностью 0,8.
Обозначим вероятность Билли через Q, тогда вероятность победы Джо - (1 – Q).
Вероятность того, что промахнутся оба, равна 0,2*0,7 = 0,14.
После этого перестрелка начинается сначала. Поэтому Q = 0,8 + 0,14Q.
Отсюда 0,86Q = 0,8, то есть Q = 0,8/0,86, или Q = 0,93. а (1 – Q) = 0,07.
В этом случае вероятность победы Джо 0,3*0,07 = 0,021, а вероятность победы Билли 0,3*0,93 = 0,279.
Если же Джо не попадает во Фрэнки, то тот застреливает Билли, и тогда в дуэли Джо с Фрэнки Джо выигрывает с вероятностью 0,3*0,3 = 0,09, а Фрэнки выигрывает с вероятностью 0,7*0,7 = 0,49.
Таким образом:
Общая вероятность победы Джо 0,021 + 0,09 = 0,111;
общая вероятность победы Билли 0,279;
общая вероятность победы Фрэнки 0,21 + 0,21 = 0,49.
Таким образом, как ни странно, для Джо худший вариант сперва стрелять в меткого стрелка, что оставит ему намного меньше шансов на выживание.

[Bob-Domon]

Всего по условию происходит два раунда стрельбы.

Этого не было явно в условии, но я не обратил внимания, что это подразумевалось из последних двух предложений условия:

Ковбои могут стрелять как в одного из противников, так и в воздух. Лучшим исходом для каждого является стать единственным выжившим. На втором месте - стать одним из двух выживших. На третьем - выжить всем. Худший исход - смерть.

На первый взгляд, это облегчает решение, но немного подумаю.

[Мефистошик]

К сожалению, не все правильно даже для случая стрельбы до конца.

Все же попробуем более строго доказать, что при других решениях Джо его шансы на выживание меньше.
А. Джо стреляет в Билли. Тогда, если он попадает с вероятностью 0,3, то Фрэнки застреливает Билли. После этого Джо с вероятностью 0,3 попадает во Фрэнки, а в противном случае Фрэнки застреливает его.

Фрэнки не может застрелить Билли, если того уже застрелил Джо.

В этом случае Джо выигрывает с вероятностью 0,3*0,3 = 0.09, а Фрэнки выигрывает с вероятностью 0,3*0,7 = 0,21.

Так что этот рядок неправильный тоже.

Если же Джо не попадает в Билли, то тот стреляет во Фрэнки и попадает с вероятностью 0,8. Дальше стреляет Джо в Билли и, как было показано выше, выигрывает с вероятностью 0,35, а Билли - с вероятностью 0,65.

С этими вероятностями стоит разобраться отдельно.

Наконец, если Билли не попадает во Фрэнки, то тот его застреливает, после чего Джо застреливает Фрэнки с вероятностью 0,3. В этом случае Джо выигрывает с вероятностью 0,3*0,3 = 0,09, а Фрэнки - с вероятностью 0,3*0,7 = 0,21.

И тут неправильный подсчет. Не учтена вероятность того, что Билли не попадает во Фрэнки (0,2).

Таким образом:
Общая вероятность победы Джо 0,09 + 0,105 + 0,09 = 0,285;
общая вероятность победы Билли 0,195;
общая вероятность победы Фрэнки 0,21 + 0,21 = 0,42.
Таким образом, однако шансы Джо в этом случае несколько меньше первоначальных 0,3.

В общем, и эти цифры ошибочны. Достаточно проверить сумму полученных вероятностей. 0,285+0,195+0,42=0,90. А должна быть 1.

[Мефистошик]

Этого не было явно в условии

Как же не было? Я ведь написал:

После чего, если выживших осталось двое, проходит второй раунд в том же порядке.

Я же не написал "и т.д." или "потом третий" и даже употребил слово "второй", а не "следующий".

[Bob-Domon]

Рассмотрим все 3 случая возможных решений Джо, вспомнив незабвенные слова его тезки Лимонадного Джо из одноименного фильма (1964):

Spoiler: показать

Чтобы метко муху бить,
Нужно Кола-локу пить!

А. Джо стреляет в воздух, после чего Билли стреляет во Фрэнки. И теперь:
1) Он попадает с вероятностью 0,8. Тогда Джо во втором раунде стреляет в Билли, попадает с вероятностью 0,3, а у Билли шансы попасть - вновь 0,8.
В этом случае вероятность победы Джо равна 0,8*0,3 = 0,24, вероятность победы Билли 0,8*0,7*0,8 = 0,448, а вероятность того, что Джо и Билли оба останутся в живых (то есть оба промахнутся во втором раунде) 0,8*0,7*0,2 = 0,112.
Если же Билли с вероятностью 0,2 не попадает во Фрэнки, то тот застреливает Билли и остается против Джо. Тогда Джо с вероятностью 0,3 застреливает его, в противном случае его застреливает Фрэнки - они оба в живых остаться не могут.
В этом случае вероятность победы Джо равна 0,2*0,3 = 0,06, а вероятность победы Фрэнки равна  0,2*0,7 = 0,14.
Таким образом:
общая вероятность победы Джо 0,24 + 0,06 = 0,3;
общая вероятность победы Билли 0,448;
общая вероятность победы Фрэнки 0,14;
общая вероятность. что Джо и Билли оба останутся в живых, 0,112.
Проверка:
0,3 + 0,448 + 0,14 + 0,112 = 1.
Итак, Джо останется в живых (один или вместе с Билли) с вероятностью 0,3 + 0,112 = 0,412.

Б. Джо стреляет в Билли, попадает в него с вероятностью 0,3, после чего Фрэнки застреливает Джо.
В этом случае Фрэнки побеждает с вероятностью 0,3.
Джо не попадает в Билли с вероятностью 0,7, после чего тот стреляет во Фрэнки, и возможны два случая:
а) Билли с вероятностью 0,8 застреливает Фрэнки. Тогда во втором раунде Джо стреляет в Билли и попадает с вероятностью 0,3, а у Билли шансы попасть - вновь 0,8.
В этом случае вероятность победы Джо равна 0,7*0,8*0,3 = 0,168, вероятность победы Билли 0,7*0,8*0,7*0,8 = 0,3136, а вероятность того, что Джо и Билли оба останутся в живых (то есть оба промахнутся во втором раунде) 0,7*0,8*0,7*0,2 = 0,0784.
б) Билли с вероятностью 0,2 не застреливает Фрэнки, после чего тот застреливает Билли. Затем во втором раунде Джо застреливает Фрэнки с вероятностью 0,3, в противном случае Фрэнки безвариантно застреливает его.
В этом случае вероятность победы Джо равна 0,7*0,2*0,3 = 0,042, а вероятность победы Фрэнки 0,7*0,2*0,7 = 0,098.
Таким образом:
общая вероятность победы Джо 0,168 + 0,042 = 0,21;
общая вероятность победы Билли 0,3136;
общая вероятность победы Фрэнки 0,3 + 0,098 = 0,398;
общая вероятность. что Джо и Билли оба останутся в живых, 0,0784.
Проверка:
0,21 + 0,3136 + 0,398 + 0,0784 = 1.
Итак, Джо останется в живых (один или вместе с Билли) с вероятностью 0,21 + 0,0784 = 0,2884.

В. Джо стреляет во Фрэнки, попадает в него с вероятностью 0,3, после чего Билли стреляет в Джо и попадает с вероятностью 0,8. Тогда Билли побеждает с вероятностью 0,3*0,8 = 0,24.
Если же Билли с вероятностью 0,2 не попадает в Джо, то наступает второй раунд, стреляет Джо, и тогда:
а) Джо с вероятностью 0,3 застреливает Билли и побеждает с общей вероятностью 0,3*0,2*0,3 = 0,018;
Джо с вероятностью 0,7 “мажет”, в него стреляет Билли, и возможны 2 случая:
а) Билли попадает с вероятностью 0,8 и побеждает с общей вероятностью 0,3*0,2*0,7*0,8 = 0,0336.
б) Билли не попадает с вероятностью, и они оба остаются в живых с общей вероятностью 0,3*0,2*0,7*0,2 = 0,0084.
Если же в первом раунде Джо не попадает во Фрэнки с вероятностью 0,7, то тот убивает Билли с общей вероятностью 0,7, после чего в него во втором раунде стреляет Джо. Тогда:
а) если Джо попадает во Фрэнки с вероятностью 0,3, то он побеждает с общей вероятностью 0,7*0,3 = 0,21;
б) если Джо не попадает во Фрэнки с вероятностью 0,7, то тот побеждает с общей вероятностью 0,7*0,7 = 0,49.
Таким образом:
общая вероятность победы Джо 0,018 + 0,21 = 0,228;
общая вероятность победы Билли 0,24 + 0,0336 = 0,2736;
общая вероятность победы Фрэнки 0,3 + 0,098 = 0,49;
общая вероятность. что Джо и Билли оба останутся в живых, 0,0084.
Проверка:
0,228 + 0,2736 + 0,49 + 0,0084 = 1.
Итак, Джо останется в живых (один или вместе с Билли) с вероятностью 0,228 + 0,0084 = 0,2364.

Подведем итоги.
При таком условии стрельба в воздух со стороны Джона тем более является лучшим решением, а худшее - опять-таки сперва стрелять в самого меткого стрелка.
А все трое могут остаться в живых, только если Фрэнки оба раза почему-то стрельнет в воздух, а это маловероятно, он все же не Лермонтов в дуэли с Мартыновым.)))

[Bob-Domon]

К сожалению, не все правильно даже для случая стрельбы до конца.

Эти ошибки я заметил сам, но, наверное, уже нет смысла их исправлять.
Впрочем, могу и исправить.

Как же не было? Я ведь написал:Я же не написал "и т.д." или "потом третий" и даже употребил слово "второй", а не "следующий".

Так я же написал:

...Я не обратил внимания, что это подразумевалось из последних двух предложений условия:

То есть отметил, что это не было сказано явно, но подразумевалось. Значит, вина моя - не вник.

[Bob-Domon]

К сожалению, не все правильно даже для случая стрельбы до конца.

Для случая со стрельбой до конца правилен основной вариант, когда Джо стреляет в воздух.

[Bob-Domon]

С этими вероятностями стоит разобраться отдельно.

Здесь мне вместо нудного подсчета суммы бесконечного ряда вроде удалось получить рекуррентную формулу.
Q - вероятность победы Джо. После его выстрела в Билли он попадет в него с вероятностью 0,3. Если же он не попадет (вероятность 0,7), то выстрелит Билли, и вероятность его промаха составит 0,7*0,2 = 0,14. После этого вновь возникнет начальное положение с очередью стрельбы Джо, то есть вероятность его победы составит уже 0,14Q. Значит, Q = 0,3 + 0,14Q, откуда легко найти Q = 0,35 (равенство приблизительное), а 1 - Q = 0,65.

[Мефистошик]

Варианты А и Б полностью точны, а вот с вариантом В вынужден не согласиться.

В. Джо стреляет во Фрэнки, попадает в него с вероятностью 0,3, после чего Билли стреляет в Джо и попадает с вероятностью 0,8. Тогда Билли побеждает с вероятностью 0,3*0,8 = 0,24.
Если же Билли с вероятностью 0,2 не попадает в Джо, то наступает второй раунд, стреляет Джо, и тогда:
а) Джо с вероятностью 0,3 застреливает Билли и побеждает с общей вероятностью 0,3*0,2*0,3 = 0,018;
Джо с вероятностью 0,7 “мажет”, в него стреляет Билли, и возможны 2 случая:
а) Билли попадает с вероятностью 0,8 и побеждает с общей вероятностью 0,3*0,2*0,7*0,8 = 0,0336.
б) Билли не попадает с вероятностью, и они оба остаются в живых с общей вероятностью 0,3*0,2*0,7*0,2 = 0,0084.
Если же в первом раунде Джо не попадает во Фрэнки с вероятностью 0,7, то тот убивает Билли с общей вероятностью 0,7, после чего в него во втором раунде стреляет Джо. Тогда:
а) если Джо попадает во Фрэнки с вероятностью 0,3, то он побеждает с общей вероятностью 0,7*0,3 = 0,21;
б) если Джо не попадает во Фрэнки с вероятностью 0,7, то тот побеждает с общей вероятностью 0,7*0,7 = 0,49.
Таким образом:
общая вероятность победы Джо 0,018 + 0,21 = 0,228;
общая вероятность победы Билли 0,24 + 0,0336 = 0,2736;
общая вероятность победы Фрэнки 0,3 + 0,098 = 0,49;
общая вероятность. что Джо и Билли оба останутся в живых, 0,0084.

Начиная с выделенного куска и дальше неправильно. Ведь если Джо не попадает, следующим стреляет Билли, а не Фрэнки. С вероятностью 0,8 Билли убивает Фрэнки.
Наступает второй раунд:
а) Джо убивает Билли, вероятность 0,7*0,8*0,3=0,168
б) Джо промазывает, Билли попадает, вероятность 0,7*0,8*0,7*0,8=0,3136
в) оба промазывают и выживают, вероятность 0,7*0,8*0,7*0,2=0,0784

Если же Билли промазыват, Фрэнки его точно убивает и тогда у нас два исхода:
а) Джо убивает Фрэнки, вероятность 0,7*0,2*0,3=0,042
б) Фрэнки убивает Джо, вероятность 0,7*0,2*0,7=0,098

Итого, с учетом правильной первой части:
общая вероятность победы Джо 0,018+0,168+0,042=0,228
общая вероятность победы Билли 0,24+0,0336+0,3136=0,5872
общая вероятность победы Фрэнки 0,098
вероятность выживания Джо и Билли 0,0084+0,0784=0,0868

Таким образом, вероятность того, что Джо останется в живых 0,228+0,0868=0,3148, что существенно выше, чем в случае Б.

Все же худшее решение со стороны Джо - стрелять в Билли. Однако поскольку этого в условии не спрашивалось, Боб ответил правильно на вопросы задачи. И получает заслуженные 5 баллов.

[Bob-Domon]

Исправленный вариант А в случае стрельбы "до победного конца":
А. Джо стреляет в Билли. Тогда, если он попадает с вероятностью 0,3, то Фрэнки застрелит Джо. В этом случае Фрэнки выигрывает с вероятностью 0,3.
Если же Джо не попадает в Билли с вероятностью 0,7, то тот стреляет во Фрэнки и попадает с вероятностью 0,8. Дальше стреляет Джо в Билли и, как было показано выше, выигрывает с вероятностью 0,35, а Билли - с вероятностью 0,65.
В этом случае Джо выигрывает с общей  вероятностью 0,7*0,8*0,35 = 0,196, а Билли - с вероятностью 07*0,8*0,65 = 0,364.
Наконец, если Билли не попадает во Фрэнки, то тот его застреливает, после чего Джо застреливает Фрэнки с вероятностью 0,3. В этом случае Джо выигрывает с вероятностью 0,7*0,2*0,3 = 0,042, а Фрэнки - с вероятностью 0,7*0,2*0,7 = 0,098.
Таким образом:
общая вероятность победы Джо 0,196 + 0,042 = 0,238;
общая вероятность победы Билли 0,364;
общая вероятность победы Фрэнки 0,3 + 0,098 = 0,398.
Проверка: 0,238 + 0.364 + 0,398 = 1.

[Bob-Domon]

Ведь если Джо не попадает, следующим стреляет Билли, а не Фрэнки.

Как раз переделывал, когда ты выложил правильное продолжение.(