Поскольку я уже должен уйти домой, то изложу, как я объясняю решение этой задачи студентам (по-моему, это объяснение более или менее оригинальное).
Решим аналогичную задачу, если мы имеем 2 аудитории, в которых одинаковое число N студентов, но в первой аудитории только парни, а во второй только девушки.
Пусть из первой аудитории переберутся во вторую x студентов (конечно, x < N, может быть и в предельном случае x = N), а затем столько же студентов переберутся из второй аудитории в первую.
Предположим сначала, что x = 1. Если из второй аудитории в первую переберется девушка, то число парней в первой аудитории будет равно числу девушек во второй аудитории и равно 1. Если же переберется парень (только что перешедший туда), то эти числа будут равны 0, как и вначале.
Применим метод математической индукции. Пусть предположение верно при x = k. Перейдем к случаю x = k + 1.
После перехода k студентов из первой аудитории во вторую. а затем обратно, согласно этому предположению, упомянутые числа равны. Если теперь еще один, (k + 1)-й студент перейдет из первой аудитории во вторую. а затем кто-то из студентов перейдет из второй аудитории в первую, то легко видеть, что после этого число парней в первой аудитории и девушек во второй аудитории либо останется таким же (если в обоих случаях перейдет парень или девушка), либо изменится на 1 (увеличится или уменьшится, соответственно если перейдет парень, а вернется девушка, либо если перейдет девушка, а вернется парень).
Предположение доказано.
То, что в данной задаче не дискретные числа студентов, а непрерывные - концентраций, не принципиально, поскольку проходят такие же рассуждения.
