Попробуем доказать, что объемные пропорции жидкостей одинаковы во всех стаканах при любом их числе n и для этого воспользуемся методом математической индукции.
При n = 2 (2 стакана с двумя жидкостями) утверждение доказано в предыдущей задаче.
Допустим, утверждение верно при n = k и перейдем к случаю n = k + 1.
После первых k шагов будем иметь на одну ложку меньше жидкостей в каждом из первых k стаканов, а в (k + 1)-м стакане добавится k ложек жидкости. Согласно предположению, объемные пропорции в первых k стаканах будут одинаковыми и соответствовать случаю стаканов, в которых первоначально было на 1 ложку меньше жидкостей (утверждение верно при любом объеме стаканов - главное, чтобы они были одинакового объема).
Теперь допустим, что (k + 1)-й стакан вначале был пустым, и осуществим (k + 1)-й шаг. Этот стакан вновь опустеет, остальные дополнятся до первоначального объема, а поскольку жидкость в (k + 1)-м стакане (как и в других) была однородной (жидкости тщательно перемешали), то в стаканы при этом добавятся жидкости с одинаковыми объемными пропорциями, и в итоге они останутся одинаковыми.
А теперь обратимся к случаю, когда в (k + 1)-м стакане имеется (k + 1)-я жидкость. Поскольку, опять-таки, после добавления жидкостей из других стаканов и тщательного перемешивания, жидкость в этом стакане однородна, то при переливании из него по 1 ложке в первые k стаканов в каждый из них добавится одинаковый объем (k + 1)-й жидкости, равный объему недолитых остальных жидкостей. Объемные пропорции этих остальных жидкостей остаются теми же, поскольку объем каждой из них должен в итоге сохраниться, а до этого последнего шага объемные пропорции в первых k стаканах были одинаковыми.
Ну, а в (k + 1)-м стакане k ложек жидкости будут замещены столькими же ложками жидкости из остальных стаканов. После этого объемные пропорции и в этом стакане тоже будут одинаковыми, иначе выходило бы, что первоначальные объемы жидкостей были разными - рассуждения те же.
Утверждение доказано.
