Продолжим решение.
1 (окончание). Произведение не могло быть и кубом простого числа, поскольку тогда Чук сразу мог бы сказать, что эти числа - простое число и его квадрат (например, если произведение равно 27, то загаданными числами могут быть только 3 и 9). Впрочем, этот вывод особо не помогает, поскольку вскоре станет ясно, что одно из загаданных чисел обязательно должно быть четным, а другое - нечетным.
2. Гек заранее знал, что Чук не сможет определить загаданные числа. Это означает, что сумма чисел, которая была ему сообщена, не могла быть представлена в виде суммы двух простых чисел (иначе он не мог быть уверен насчет Чука).
Далее. Для всех четных чисел, больших 4, но не превышающих 4×10 в 18-й степени, доказана так называемая
бинарная проблема Гольдбаха, то есть любое из них может быть представлено как сумма двух простых чисел. Для четных чисел, меньших 200, как в нашем случае, это может быть доказано простым перебором. Так что сумма этих чисел нечетна. Иными словами,
одно из них четно, а другое нечетно, то есть их произведение четно.
Наконец, поскольку после 47 следующее простое число - 53, то все нечетные числа больше этого числа можно представить в виде 53 + n, где n = 2, 4, 6, … Согласно первому пункту, в этом случае Чук сразу мог бы определить ответ. Например, если бы произведение было равно 212, то числа могли быть только 53 и 4 (сумма равна 57, то есть n = 4), поскольку другой вариант 106 и 2 не проходит - 106 больше 100.
И последнее наблюдение. Если p - простое число, то сумма не может быть равна p + 2, поскольку тогда Чук сразу отгадал бы, что загаданные числа - p и 2 (оба числа простые). Иными словами, если сумма загаданных чисел равна S, то число S – 2 обязательно должно быть составным.
Отсюда следует, что
S = 11, 17, 23, 27, 29, 35, 37, 41, 47, 51, 53 (во всех остальных случаях число S – 2 является простым).
3-4. После ответа Гека Чук понял (если он действительно так же мудр, как и Гек
), что сумма загаданных чисел может являться лишь одной из перечисленных выше одиннадцати величин. Если он после этого угадал эти числа, то это означает, что произведение этих чисел разлагается на множители, сумма которых равняется одной из вышеприведенных, единственным образом.
Попробуем исключить некоторые из этих сумм. Для этого рассмотрим простейший из удовлетворяющих нас случаев, а именно - когда имеем произведение двойки в какой-то степени и простого числа, причем сумма их равна одной из вышеприведенных сумм. Очевидно, тогда (хотя и не только тогда) эти числа будут удовлетворять условию, что их сумма должна быть нечетной. Например, 11 = 4 + 7, произведение этих чисел равно 28, но тогда загаданными числами не могут быть, скажем, 14 и 2, поскольку их сумма будет четной. Однако имеем также 11 = 8 + 3, и эти числа тоже могут быть решением. Это означает, что в случае суммы 11 Гек не смог бы однозначно угадать числа - они могли быть как 4 и 7, так и 8 и 3. Значит, сумма 11 исключается.
Последовательно перейдем к следующим суммам.
17 = 4 + 13, других способов представить это число в виде суммы двойки в какой-то степени и простого числа нет. Берем эту сумму на заметку.
23 = 4 + 19 = 16 + 7, то есть сумму 23 исключаем.
27 = 4 + 23 = 8 + 19, сумму 27 тоже исключаем.
29 = 16 + 13, других способов представить это число в виде суммы двойки в какой-то степени и простого числа нет. Берем эту сумму на заметку.
35 = 4 + 31 = 16 + 19, сумму 35 тоже исключаем.
37 = 8 + 29 = 32 + 5, сумму 37 тоже исключаем.
41 = 4 + 37, других способов представить это число в виде суммы двойки в какой-то степени и простого числа нет. Берем эту сумму на заметку.
47 = 4 + 43 = 16 + 31, сумму 47 тоже исключаем.
51 = 4 + 47 = 32 + 19, сумму 51 тоже исключаем.
53 = 16 + 37, других способов представить это число в виде суммы двойки в какой-то степени и простого числа нет. Берем эту сумму на заметку.
Итак, остаются лишь четыре суммы -
S = 17, 29, 41, 53.
Если задача имеет решение, то одна из этих сумм допускает однозначное решение, а остальные три - нет. Решение может быть неоднозначным только в том случае, если рассматриваемая сумма из этих четырех имеет слагаемые, которые оба являются составными (при этом одно из них обязательно должно быть нечетным, а другое - четным), либо одно из них является 2, а другое – нечетным составным числом, либо, наконец, одно из них является простым числом, отличным от 2, а другое - составным четным числом, не являющимся двойкой в некоторой степени. С учетом этого, начнем новую, на этот раз исчерпывающую проверку.
17 = 2 + 15, 2 x 15 = 5 x 6, 5 + 6 = 11 - вариант отпадает, поскольку эта сумма входит в число первоначальных одиннадцати разрешенных (
S = 11, 17, 23, 27, 29, 35, 37, 41, 47, 51, 53), то есть получается дуаль в решении.
17 = 3 + 14, 3 x 14 = 21 x 2, 21 + 2 = 23 - отпадает по той же причине.
17 = 4 + 13, 4 x 13 = 52 - остается, поскольку других разложений числа 52 на четный и нечетный множители нет.
17 = 5 + 12, 5 x 12 = 20 x 3, 20 + 3 = 23 - отпадает по той же причине, что и первые два варианта.
17 = 6 + 11, 6 x 11 = 33 x 2, 33 + 2 = 35 - отпадает по той же причине.
17 = 7 + 10, 7 x 10 = 35 x 2, 35 +2 = 37) - отпадает по той же причине.
17 = 8 + 9, 8 x 9 = 24 x 3, 24 + 3 = 27 - отпадает по той же причине.
Итак, в случае произведения 52 и суммы 17 Чук, а затем и Гек с уверенностью могут сказать, что загаданные числа - 4 и 13.
Но, может быть, они могут сказать, что знают загаданные числа, также в случае чисел 16 и 13 (сумма 29, произведение 208 ), либо 4 и 37 (сумма 41, произведение 148 ), либо 16 и 37 (сумма 53, произведение 592)? В таком случае мы, заранее не зная произведения и суммы этих чисел, не сможем их угадать (в отличие от Чука и Гека).
К счастью, в случае трех остальных сумм (29, 41, 53) быстро находятся дуали в решении:
29 = 25 + 4, 25 x 4 = 100 = 20 x 5 (других разложений суммы на четный и нечетный множители нет), 20 + 5 = 25. Эта сумма не входит в число первоначальных одиннадцати разрешенных, поэтому пара чисел 20 и 5 также является решением - получается дуаль.
41 = 16 + 25, 16 x 25 = 400 = 80 x 5 (других разложений суммы на четный и нечетный множители нет), 80 + 5 = 25. Эта сумма тоже не входит в число первоначальных одиннадцати разрешенных, поэтому пара чисел 80 и 5 также является решением - вновь получается дуаль.
53 = 30 + 23, 30 x 23 = 690 = 10 x 69 (других разложений суммы на четный и нечетный множители нет), 10 + 69 = 79. Эта сумма тоже не входит в число первоначальных одиннадцати разрешенных, поэтому пара чисел 10 и 69 также является решением - и здесь получается дуаль.
Итак, из оставшихся четырех сумм только
17 не допускает дуалей в решении, то есть загаданными числами могут быть только
4 и
13.
