Попробуем доказать так.
Поскольку число возможных остатков от деления любого числа на 1999 конечно, то среди чисел 7, 77, 777, … наверняка найдутся, как минимум, 2 числа (а на самом деле - сколько угодно таких чисел), которые при делении на 1999 дадут одинаковые остатки - это и есть 2 кролика в одной клетке (принцип Дирихле).
Пусть это числа M и N, причем примем M больше N. Тогда эти числа можно представить в следующем виде:
M = 1999m + a, N = 1999n + a, где a, m и n - целые числа (причем m больше n, поскольку M больше N), a – остаток.
M – N = 1999m + a – (1999n + a) = 1999m – 1999n = 1999(m – n).
Стало быть, число (M – N) делится на 1999.
Число (M – N) состоит из некоторого числа семерок, после которых следуют нули,то есть имеет следующий вид: 7777…70000…0. Обозначим число нулей через k.
Поскольку числа 10 и 1999 являются взаимно простыми числами, то если без остатка разделить число, кратное 1999, на 10, то получившееся частное тоже будет делиться на 1999. Естественно, то же касается деления числа, кратного 1999, на 10 в любой степени.
Значит, если мы разделим число (M – N) на 10 в степени k, то получим число, состоящее только из семерок и также кратное 1999.
