Похожую задачу я вроде когда-то здесь решил, применяя
принцип Дирихле (“
кролики в клетках”).
Рассмотрим вначале бесконечную последовательность
33333…2017 - простое число (это будет важно в дальнейшем), и при делении фрагментов этой последовательности на 2017 число остатков конечно и равно 2016 (не считая нулевой остаток, то есть деление нацело). Значит, среди этих фрагментов наверняка найдутся два (а на самом деле - сколько угодно), которые при делении на 2017 дадут одинаковый остаток. Обозначим большее из этих чисел через M, а меньшее через N. Тогда число (M – N), которое можно представить в виде
3333…000…, будет нацело делиться на 2017. Эту разность можно представить в виде 3333… x 10 в степени n (n - число нулей). А поскольку 2017 и 10 в степени n являются взаимно простыми числами, то найденное число
3333… тоже будет делиться на 2017.
Аналогично можно доказать, что число типа
mmmmm…, где m = 1, 2, 3, … 9, содержит фрагмент, который нацело делится на 2017.
Более того, если последовательность является дробной частью периодической дроби, то ее можно представить в виде
RRRR…, где R - период дроби, после чего проходят те же рассуждения.
Осталось рассмотреть случай дробной части иррационального числа. Вообще-то, среди их фрагментов, на первый взгляд, можно найти любое число (как и в записи числа "
пи" ), однако пример
12122122212222… вроде это опровергает, так что нужно подумать еще.
