Я думал об этом, но почему-то думал, что придется использовать функции типа предел, стремится к и так далее. Разве такое уравнение правильное?
Хороший вопрос.
Воспользуюсь им в качестве предлога провести небольшой математический ликбез.
1. Сама запись 3,(3) означает периодическую десятичную дробь, конкретно в данном случае 3,3333333... (бесконечное количество троек).
2. Умножая число 3,(3) на 3, мы получаем 9,(9), иначе говоря, 9,99999999... (бесконечное количество девяток). И оказывается, что числа 9,(9) и 10 на самом деле равны между собой. Докажем это.
Для начала, поговорим о различных множествах чисел.
Простейшее множество - натуральные числа. Ими мы пользуемся для счета: 1,2,3,4 и т.д.
"Чуть" шире множество целых чисел - это натуральные (1,2,3,4...) плюс противоположные к ним (-1, -2, -3, -4,...) плюс ноль.
Ещё шире множество рациональных чисел - это такие, которые можно представить в виде обычной дроби, в которой числитель - целое число, а знаменатель - натуральное (примеры рациональных чисел: 1/2, 3/7, 5/3, -19/145 и т.д.)
Любое рациональное число можно представить не только как обычную дробь (с числителем и знаменателем), но и как десятичную либо конечную, либо периодическую. Например, 1/2 можно записать, как 0,5 (конечная), а 5/3 - как 1,6666666... или сокращённо 1,(6) (дробь бесконечная, но периодическая, то есть повторяющаяся).
Помимо рациональных чисел существуют иррациональные. К ним относятся числа, которые невозможно записать обычной дробью, с целым числителем и натуральным знаменателем. Например, √2, √3, π и прочие. Эти числа можно представить в виде десятичной дроби, однако такая дробь будет бесконечная и непериодическая, соответственно, выписать ВСЕ числа после запятой невозможно.
Если объединить рациональные и иррациональные числа, вместе они образуют действительные числа. Множество действительных чисел обладает многими "хорошими" свойствами, среди которых нам важны непрерывность и упорядоченность. Что они означают?
Упорядоченность означает, что действительные числа можно сравнивать между собой. То есть какие бы два действительных числа мы не взяли, совершенно точно, либо они равны между собой, либо одно из них больше другого (возможно, кому-то это покажется очевидным, но, к примеру, с комплексными числами, такая штука не работает (впрочем, они нам тут и не нужны)).
Непрерывность означает, что какие бы два разных числа мы не взяли, между ними всегда найдется как минимум одно (а на самом деле бесконечное количество чисел). Например, между числами 1 и 3 есть число 2 (а также 1,1; 1,11; 1,111 и т.д.).
Ну и теперь вернёмся к нашему утверждению, что 9,(9)=10.
Допустим, это не так (классический в математике метод доказательства от противного, когда допускается предположение, противоположное тому, что нужно доказать и в результате очевидных шагов логически приходим к противоречию) и на самом деле 9,(9) и 10 не равны между собой. Тогда по свойству непрерывности между ними на1дется хотя бы одно число, то есть такое, что больше, чем 9,(9), но меньше, чем 10. Однако попытки найти такое число неизменно оканчиваются провалом, ведь если увеличить хотя бы один разряд числа 9,(9) хотя бы на единицу, мы получим число, большее 10. Следовательно, между числами 9,(9) и 10 никаких чисел нет. И вследствие свойства непрерывности и свойства упорядоченности, эти два числа равны.
Надеюсь, кто-то почерпнет для себя что-то интересное из этого ликбеза.
